从范数到正则化
范数是一个在数学领域中常用的工具，同时也是学习机器学习原理中经常碰到的概念。本文将从范数的定义出发，逐步带你理解其在机器学习中的应用。
首先需要明确的是，范数是一个函数，在机器学习中我们通常用它来衡量向量的大小。\(L^p\)范数定义为：
\[\left \| x \right \|_p = \left ( \sum_{i}\left | x^i \right |^p \right )^{1/p}\]1.常见的范数
下面简要介绍一些常见的范数，到这一步暂且只需要记住它们的形式。
1.1 $L^2$范数
当\(p = 2\)时，\(L^2\)范数也被称为欧几里得范数，表示从远点出发到向量\(x\)确定的点的欧几里得距离。这个范数在机器学习中应用的非常频繁，我们先记住它的简化表示:\(\left \| x \right \|\)。
\[\left \| x \right \| = \left ( \sum_{i}\left | x^i \right |^2 \right )^{1/2}\]1.2 平方$L^2$范数
顾名思义就是\(L^2\)范数的平方，好处就是它显然比\(L^2\)范数容易计算，可以简单的通过点积\(x^Tx\)计算。
1.3 $L^1$范数
有些情况下平方\(L^2\)范数不是很受欢迎，因为它在原点附近增长得十分缓慢。有时候区分恰好是零和非零但值很小的元素是很重要的，这时候就可以使用各位置斜率相同的\(L^1\)范数：
\[\left \| x \right \|_1 = \sum_{i}\left | x^i \right |\]1.4 $L^\infty $范数
\(L^\infty\)范数也被称为最大范数，表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值：
\[\left \| x \right \|_\infty = \underset{i}{max}\left | x_i \right |\]2.深度学习中的正则化
2.1偏差(bias)和方差(variance)
在介绍深度学习中的正则化之前，我们先要从机器学习的场景出发思考，是什么问题促使我们需要用正则化这个工具呢？
偏差和方差通常可以用来判断模型拟合数据的情况，看下面这张图，\(\bigcirc\)和$\times $代表两种不同的样本点。
第一个坐标系中由于分类器接近于线性，拟合数据的能力比较差，表现出欠拟合，对应高偏差high bias；第三个坐标系对于训练数据过拟合，对应高方差high variance；而中间的坐标系则是恰到好处的，我们比较希望得到的泛化能力较强的模型。
因此：
- if high bias:{更大的网络/更长的训练时长/（更合适的算法）}
- if high variance:{更多的数据/正则化/（更合适的算法）}
我们可以将正则化理解为“对学习算法的修改——目的是为了减少泛化误差，以偏差的增加换取方差的减少，从而抑制过拟合。”
2.2正则化如何抑制过拟合
我们将目标函数定义为$J(\theta ;X,y)$,正则化后的目标函数为$\tilde{J}(\theta ;X,y)$,$\theta = w + b$。通常只对权重$w$做正则化惩罚而不针对偏置项$b$,为了简单起见，我们假设没有偏置项：
\[\tilde{J}(w ;X,y) = J(w ;X,y) + \alpha 正则项\]$\alpha \in [0,\infty)$是权衡正则化强度的超参。
2.2.1 $L^2$正则化
$L^2$范数正则化也被称为权重衰减，这时
\[正则项 = \frac{1}{2}\left \| w \right \|_{2}^{2}\]带入正则化后的目标函数
\[\tilde{J}(w ;X,y) = J(w ;X,y) + \frac{\alpha}{2}\left \| w \right \|_{2}^{2}\]从上文1.2 平方\(L^2\)范数的介绍中得到$\left | w \right |_{2}^{2} = w^Tw$，因此
\[\tilde{J}(w ;X,y) = J(w ;X,y) + \frac{\alpha}{2}w^Tw\]与之对应的梯度为：
\[\bigtriangledown _w\tilde{J}(w ;X,y) = \bigtriangledown _wJ(w ;X,y) + \alpha w\]使用梯度下降更新权重，\(\epsilon\)为学习率：
\[w\leftarrow w - \epsilon (\bigtriangledown _wJ(w ;X,y) + \alpha w)\]即：
\[w\leftarrow (1-\epsilon \alpha)w - \epsilon (\bigtriangledown _wJ(w ;X,y) )\]可以看出加入权重衰减后会引起学习规则的修改，在每步梯度更新之前都会先收缩权重向量——将权重向量前边乘上一个小于1的权重因子$(1-\epsilon \alpha)$，也就是说，正则化惩罚系数$\alpha $升高会将权重$w$拉向0。可以从两个角度进一步理解一下这个操作：
a.在神经网络中，当一些权重趋近于0时，则可以理解为去掉了一些逻辑单元，简化后的网络虽然小但深度很大。从而将高方差的模型往高偏差的方向拉，直到获取一个恰到好处的模型。
b.假设神经网络每层的激活函数为$g(z) = tanh(z)$，$z = w^{[l] }\varepsilon^{[l-1] }+b$，正则化惩罚系数$\alpha 升高 \rightarrow w减小 \rightarrow z 减小 $，从而使得$g(z)$从①③的非线性状态区域进入②接近于线性状态的区域，导致每层几乎是线性的（线性函数叠加仍然为线性），起到抑制过拟合的效果。
